در ریاضی سنت شده است که اعداد بصورت M(n) = 2n − 1 را به مناسبت نام کشیش فرانسوی مارین مرسن(Marin Mersenne) ، اعداد مرسن نامیده می شود. چرا که مرسن در زمینه ی اول بودن این نوع اعداد اظهار نظری نادرست اما محرک کرده بود. اولین اعداد مرسن اعداد زیر هستند: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 2147483647 و ... که متناظر هستند با...
... ,89 ,61 ,31 ,19 ,17 ,13 ,7 ,5 ,3 ,n=2
تاریخچه
درسال 1963 کشف شد که ۱-11213 2 اول است, و این به وسیله بسته های پستی مخصوص ساخته شده با مُهرِ فرستاده شده از یوبرانا, ایلینیوس اعلام شد.
یک شبکه تحقیقاتی توزیع شده در اینترنت توسط ولتمن به پا شده است که به
GIMPS( Great Internet Mersenne Prime Search) معروف است و داوطلبان بیشمار آن, از کامپیوترهای شخصی خود برای انجام دادن قسمت های مختلفی از تحقیقات استفاده می کنند. در 17 نوامبر 2003, یکی از داوطلبان GIMPSکشف چهلمین عدد مرسن را گزارش داد و این موضوع، پس از آن تأیید شد. شش ماه پس از آن،کشف چهل و یکمین عدد مرسن توسط یکی از داوطلبان این شبکه به ثبت رسید. عدد بعدی مرسن در این سری نیز در 18 فوریه 2005 اعلام شد.دو محققی که آخرین عدد مرسن را یافته اند در واقع رکورد خود را بهبود داده اند. این دو در 11 ستامبر 2006، 44امین عدد مرسن را کشف کردند.عدد مرسن ۴۴ام برابر ۲ به توان ۳۲۵۸۲۶۵۷ منهای ۱ می باشد که ۹۸۰۸۳۵۸ رقم دارد. برای نمایش این عدد در یک نرم افزار واژه پرداز معمولی اگر از فونت تایم با سایز 12 استفاده کنیم فایلی با 2769 صفحه ایجاد خواهد شد. برای محاسبه این اعداد همواره از پیچیده ترین و جدیدترین جنبه های محاسبات کامپیوتری استفاده شده است. در مورد تعداد اعداد اول مرسن نیز هنوز کسی نتوانسته است اثبات کند که آیا این اعداد اول تمام شدنی هستند یا خیر!
بزرگترین عدد اول مرسن
اقلیدس ثابت کرد که بینهایت عدد اول وجود دارد، بنابراین همیشه عدد اولی بزرگتر از بزرگترین عدد اول شناخته شده وجود دارد. بسیاری از ریاضیدانان و محققین تفننی سرگرم جستجوی بزرگترین عدد اول شناخته شده هستند؛ این ممکن است مفید نیز باشد چرا که جایزه‌هایی به وسیله بنیاد مرز الکترونیک برای کشف اعداد اول ارائه شده‌است.
از آنجایی که اجرای FFT آزمون لوکاس-لمر2 برای اعداد اول مرسن3 سریعتر از هر آزمون دیگری برای انواع دیگر اعداد اول است، بسیاری از بزرگترین اعداد اول شناخته شده، عدد اول مرسن هستند؛ در میان ۱۰ بزرگترین عدد اول شناخته شده تا دسامبر ۲۰۰۷، ۶ عدد جزو اعداد مرسن بودند.
استفاده از کامپیوترهای الکترونیکی کشف‌ها را شتاب بخشیده‌اند، به طوری که همهٔ اعداد اول کشف شده از ۱۹۵۱ تاکنون به وسیلهٔ این کامپیوترها کشف شده‌اند. تعداد ارقام بزرگترین عدد اول شناخته شده در سال ۱۹۹۹ از مرز یک میلیون گذشت و باعث دریافت جایزه‌ای ۵۰٬۰۰۰ دلاری شد.
در ژانویه سال ۲۰۱۳ میلادی بزرگترین عدد اول شناخته‌شده تا آنزمان که ۱۷٫۴۲۵٫۱۷۰ رقم دارد، توسط پروژهٔ 4GIMPS کشف شد:
۲۵۷٫۸۸۵٫۱۶۱ - ۱
این عدد توانست سه سال این رکورد را به نام خود ثبت کند.
این پروژه در جشن بیستمین سالگرد افتتاح خود در 7 ژانویه 2016 اقدام به معرفی یک عدد اول جدید کرده است. اکنون بزرگترین عدد اول شناخته شده این عدد است:
۲۷۴٫۲۰۷٫۲۸۱ - ۱
این عدد ۲۲ میلیون و ۳۳۸ هزار و ۶۱۸ رقم دارد. برای اینکه ببینیم این عدد چقدر بزرگ است، فقط نوشتن آن را بررسی می کنیم:
فرض کنیم به اندازه کافی کاغذ برای نوشتن و لوازم نوشتن (خودکار) در اختیار داریم. و همچنین فرض می کنیم هرگز از نوشتن خسته نشویم! و سرعت نوشتنمان نیز ثابت بماند. در اینصورت اگر برای نوشتن هر 10 رقم، 4 ثانیه وقت لازم داشته باشیم، برای نوشتن این عدد، باید بیش از سه ماه، بی وقفه به نوشتن ادامه دهیم. همچنین پرینت گرفتن این عدد (البته بسته به درج یک فونت معقول) در حدود 6000 تا 7000 صفحه خواهد شد!
می توانید فایل فشرده این عدد که در حدود 10 مگابایت حجم دارد را از اینجا دانلود کنید.
بنیاد مرز الکترونیک برای کشف عدد اولی با 100 میلیون رقم جایزه ای 150,000 دلاری و برای عددی با بیش از یک میلیارد رقم، 250,000 دلار در نظر گرفته است.
البته همه‌ی اعداد صحیحی که در فرمول 2n-1 قرار میگیرند، به یک عدد اول نمی انجامند. (مانند n=4 که حاصل، عدد غیراول 15 می شود.) هرچه عدد صحیح بزرگتر شود، اعداد اول کمیاب‌تر می‌شوند. اما همیشه می‌توان یک عدد اول بزرگتر پیدا کرد، فقط یافتنش دشوارتر می‌شود. روی هم رفته، تاکنون فقط ۴۹ عدد اول مرسن شناخته شده است.
پروفسور «کریس کوپر» از دانشگاه میزوری به عنوان داوطلب بر فرایند کشف و محاسبه این عدد نظارت داشته است و البته «اسکات کورووسکی» و «آرون بلاسر» نیز از GIMPS در این فرایند و کشف این عدد همکاری داشته‌اند. این سومین رکورد پروفسور کوپر در کشف اعداد اول است.
برای کشف این عدد 31 روز محاسبه رایانه‌ای بر روی یک رایانه با پردازشگر اینتل I7-4790 CPU زمان صرف شده است و این رایانه برای کشف این عدد، عدد 2 را 74 میلیون و 207 هزار و 281 بار در خود ضرب کرده و سپس 1 را از آن کم کرده است. در نهایت نتیجه به دست آمده به عنوان یک عدد اول تایید شده است.
